Vecteur normal à une droite

Définition  (rappel)

Soit  \((d)\) une droite du plan et  \(\text A\) et \(\text B\) deux points distincts de \((d)\) . On dit qu'un vecteur  \(\vec u\)  non nul est un vecteur directeur de la droite  \((d)\) si et seulement s'il est colinéaire au vecteur \(\overrightarrow {\text A \text B}\) .

Définition

Soit   \((d)\) une droite du plan et \(\vec u\) un vecteur directeur de  \((d)\) . On dit qu'un vecteur \(\vec n\) , non nul, est un vecteur normal à la droite  \((d)\) si et seulement s'il est orthogonal à \(\vec u\) .

Remarques

• Dire que \(\vec n\) est orthogonal à \(\vec u\) équivaut à dire que  \(\vec n\) est orthogonal à tout vecteur directeur de  \((d)\) . En effet, soit  \(\vec v \ne \vec u\) un vecteur directeur de  \((d)\) , \(\vec u\) et \(\vec v\) sont colinéaires, il existe  \(k\) réel non nul tel que  \(\vec v = k\vec u\) . On a  \(\vec n \cdot \vec v=\vec n \cdot (k\vec u)=k(\vec n \cdot \vec u)=0\) et  \(\vec n\) est bien orthogonal à  \(\vec v\) . 
  
• Tout vecteur colinéaire à \(\vec n\) est un vecteur normal de  \((d)\) . On laisse le soin de le démontrer au lecteur.
  
• Toute droite de vecteur directeur \(\vec n\) est perpendiculaire à  \((d)\) .